一. 机器数和真值

在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

  1. 机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011

那么,这里的 0000001110000011 就是机器数。

  1. 真值

因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。

例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。

所以,为区别起见,将 不带符号位的机器数 对应的真正数值称为机器数的真值。

例: 0000 0001的真值 = +000 0001 =+1 1000 0001的真值 =–000 0001 = –1


二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.

对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

  1. 原码

    原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值.

    比如如果是8位二进制:

    [+1]原 = 0000 0001 [-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位

所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111][-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

  1. 反码

反码的表示方法是:

1. 正数的反码是其本身

2. 负数的反码是在其原码的基础上, **符号位不变** ,其余各个位取反.

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

  1. 补码

补码的表示方法是:

1. 正数的补码就是其本身

2. 负数的补码是在其原码的基础上, **符号位不变**, 其余各位取反, **最后一位 +1**. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.


三. 为何要使用原码, 反码和补码

现在知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数.

对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

不论正负,不论原码,补码,反码符号都不变


使用原因

人脑可以知道 第一位是符号位, 在计算的时候会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头)

但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别符号位显然会让计算机的 基础电路设计变得十分复杂!

于是人们想出了将符号位也参与运算的方法.

根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法.


首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.

这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的.

而唯一的问题其实就出现在0这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的.

而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.


于是补码的出现, 解决了0的符号以及 两个编码 的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128.

但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示. (对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数.

这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.


二进制 乘法 与 除法

变补

[-x]补 称为变补

x 可以为正 , x 可以为负 结果 等于 [x]补 此时包含符号位,再取补

左移右移

[x/2]补 左移 前面补 0 [2x]补 右移 后面补 0